本报告将针对具有变分结构的半线性偏微分方程鞍点计算问题，系统介绍单调型和非单调型局部极小极大方法（LMM）及其算法框架。其中单调型LMM分别基于Armijo、Goldstein和（强）Wolf-Powell三类标准化非精确搜索策略，下降方向的选择可从最速下降方向推广到更一般的下降方向，从而使得算法的加速成为可能。而非单调LMM是基于BB步长与Zhang-Hager型非单调搜索策略，数值结果表明，该方法可大幅提高LMM的算法效率。我们的工作克服了半线性偏微分方程鞍点计算的非线性、非凸、多解和不稳定等本质困难，并且严格证明了方法的可行性和大范围收敛性。作为LMM的一个应用，其被用于计算一类半线性奇异摄动Neumann问题的鞍点解，我们发现并准确刻画了对应的临界扰动值。